1‑я космическая скорость

Пе́рвая косми́ческая ско́рость (кругова́я ско́рость) — мини­маль­ная (для задан­ной высо­ты над поверх­но­стью пла­не­ты) гори­зон­таль­ная ско­рость, кото­рую необ­хо­ди­мо при­дать объ­ек­ту, что­бы он совер­шал дви­же­ние по кру­го­вой орби­те вокруг пла­не­ты^[1]. Пер­вая кос­ми­че­ская ско­рость для орби­ты, рас­по­ло­жен­ной вбли­зи поверх­но­сти Зем­ли, состав­ля­ет 7,91 км/с^[2]. Впер­вые пер­вая кос­ми­че­ская ско­рость была достиг­ну­та кос­ми­че­ским аппа­ра­том СССР «Спутник‑1» 4 октяб­ря 1957 года^[3].

Вычисление и понимание

В инер­ци­аль­ной систе­ме отсчё­та на объ­ект, дви­жу­щий­ся по кру­го­вой орби­те вокруг Зем­ли, будет дей­ство­вать толь­ко одна сила — сила тяго­те­ния Зем­ли. При этом дви­же­ние объ­ек­та не будет ни рав­но­мер­ным, ни рав­но­уско­рен­ным. Про­ис­хо­дит это пото­му, что ско­рость и уско­ре­ние (вели­чи­ны не ска­ляр­ные, а век­тор­ные) в дан­ном слу­чае не удо­вле­тво­ря­ют усло­ви­ям равномерности/равноускоренности дви­же­ния — то есть дви­же­ния с посто­ян­ной (по вели­чине и направ­ле­нию) скоростью/ускорением. Дей­стви­тель­но — век­тор ско­ро­сти будет посто­ян­но направ­лен по каса­тель­ной к поверх­но­сти Зем­ли, а век­тор уско­ре­ния — пер­пен­ди­ку­ляр­но ему к цен­тру Зем­ли, при этом по мере дви­же­ния по орби­те эти век­то­ры посто­ян­но будут менять своё направ­ле­ние. Поэто­му в инер­ци­аль­ной систе­ме отсчё­та такое дви­же­ние часто назы­ва­ют «дви­же­ние по кру­го­вой орби­те с посто­ян­ной по моду­лю ско­ро­стью».

Урав­не­ние вто­ро­го зако­на Нью­то­на для тела, при­ни­ма­е­мо­го за мате­ри­аль­ную точ­ку, дви­жу­ще­го­ся по орби­те вокруг пла­не­ты c ради­аль­ным рас­пре­де­ле­ни­ем плот­но­сти, мож­но запи­сать в виде^[4]

$$


m
a
=
G



M
m


R

2




,


{displaystyle ma=G{frac {Mm}{R^{2}}},}

где

$$


m


{displaystyle m}

 — мас­са объ­ек­та,

$$


a


{displaystyle a}

 — его уско­ре­ние,

$$


G


{displaystyle G}

 — гра­ви­та­ци­он­ная посто­ян­ная,

$$


M


{displaystyle M}

 — мас­са пла­не­ты,

$$


R


{displaystyle R}

 — ради­ус орби­ты.

В общем слу­чае при дви­же­нии тела по окруж­но­сти с посто­ян­ной по моду­лю ско­ро­стью

$$


v


{displaystyle v}

его уско­ре­ние рав­но цен­тро­стре­ми­тель­но­му уско­ре­нию

$$





v

2


R


 
.


{displaystyle {frac {v^{2}}{R}} .}

С учё­том это­го урав­не­ние дви­же­ния с пер­вой кос­ми­че­ской ско­ро­стью

$$



v

1




{displaystyle v_{1}}

при­об­ре­та­ет вид^[5]:

$$


m



v

1


2


R


=
G



M
m


R

2




.


{displaystyle m{frac {v_{1}^{2}}{R}}=G{frac {Mm}{R^{2}}}.}

Отсю­да для пер­вой кос­ми­че­ской ско­ро­сти сле­ду­ет

$$



v

1


=


G


M
R




.


{displaystyle v_{1}={sqrt {G{frac {M}{R}}}}.}

Ради­ус орби­ты скла­ды­ва­ет­ся из ради­у­са пла­не­ты

$$



R

0




{displaystyle R_{0}}

и высо­ты над её поверх­но­стью

$$


h


{displaystyle h}

. Соот­вет­ствен­но, послед­нее равен­ство мож­но пред­ста­вить в виде

$$



v

1


=




G
M



R

0


+
h




.


{displaystyle v_{1}={sqrt {frac {GM}{R_{0}+h}}}.}

Под­став­ляя чис­лен­ные зна­че­ния для орби­ты, рас­по­ло­жен­ной вбли­зи поверх­но­сти Зем­ли (h ≈ 0, M = 5,97·10²⁴ кг, R₀ = 6 371 000 м (ради­ус ука­зы­ва­ет­ся в мет­рах), G=6.67·10^-11 м³·кг⁻¹·с⁻²), полу­ча­ем

$$



v

1


≈


{displaystyle v_{1}approx }

7900 м/с.

Пери­од обра­ще­ния спут­ни­ка по кру­го­вой орби­те равен:

$$


T
=



2
π
R

v


=
2
π
R



R

G
M




.


{displaystyle T={frac {2pi R}{v}}=2pi R{sqrt {frac {R}{GM}}}.}

При уда­ле­нии спут­ни­ка от цен­тра Зем­ли на рас­сто­я­ние 42 200 км пери­од обра­ще­ния ста­но­вит­ся рав­ным 24 часа, то есть вре­ме­ни обра­ще­ния Зем­ли вокруг сво­ей оси. Если запу­стить на кру­го­вую орби­ту спут­ник на такой высо­те в сто­ро­ну вра­ще­ния Зем­ли в плос­ко­сти эква­то­ра, то он будет висеть над одним и тем же местом поверх­но­сти Зем­ли на высо­те 35 800 км (гео­ста­ци­о­нар­ная орби­та)^[4].

С уве­ли­че­ни­ем высо­ты орби­ты пер­вая кос­ми­че­ская ско­рость умень­ша­ет­ся. Так, на высо­те 100 км над поверх­но­стью Зем­ли она рав­на 7 844 м/с, а на высо­те 300 км — 7 726 м/с^[6].

Дру­гое выра­же­ние пер­вой кос­ми­че­ской ско­ро­сти име­ет вид:

$$



v

1


=


g
R




{displaystyle v_{1}={sqrt {gR}}}

, где

$$


g


{displaystyle g}

 — уско­ре­ние сво­бод­но­го паде­ния на рас­сто­я­нии

$$


R


{displaystyle R}

от цен­тра Зем­ли^[4][3].

Если ско­рость тела направ­ле­на гори­зон­таль­но и при этом боль­ше пер­вой кос­ми­че­ской ско­ро­сти, но мень­ше вто­рой кос­ми­че­ской, то орби­та пред­став­ля­ет собой эллипс^[6].

См. также

• Кос­ми­че­ская ско­рость
• Вто­рая кос­ми­че­ская ско­рость
• Тре­тья кос­ми­че­ская ско­рость
• Чет­вёр­тая кос­ми­че­ская ско­рость

Примечания

Ссылки

• Roger R. Bate; Donald D. Mueller; Jerry E. White. Fundamentals of astrodynamics. — New York: Dover Publications, 1971. — ISBN 978–0‑486–60061‑1.