1/x

Обра́тное чис­ло́ (обрат­ное зна­че­ние, обрат­ная вели­чи­на) к дан­но­му чис­лу x — это чис­ло, умно­же­ние кото­ро­го на x даёт еди­ни­цу. При­ня­тая запись:

или

. Два чис­ла, про­из­ве­де­ние кото­рых рав­но 1, назы­ва­ют­ся вза­им­но обрат­ны­ми^[1].

При­ме­ры.

Един­ствен­ные веще­ствен­ные чис­ла, сов­па­да­ю­щие со сво­и­ми обрат­ны­ми: $$


+
1


{displaystyle +1}

и $$


−
1.


{displaystyle -1.}

Обрат­ное для чис­ла 2 рав­но $$




1
2


.


{displaystyle {frac {1}{2}}.}

Обрат­ное для чис­ла $$




11
35




{displaystyle {frac {11}{35}}}

рав­но $$




35
11


.


{displaystyle {frac {35}{11}}.}

Обрат­ное для чис­ла $$


π
=
3,141
5926535
…


{displaystyle pi =3{,}1415926535dots }

рав­но $$


0,318
3098861
…


{displaystyle 0{,}3183098861dots }

Обрат­ное чис­ло не сле­ду­ет путать с про­ти­во­по­лож­ным или с обрат­ной функ­ци­ей.

Поня­тие обрат­но­го эле­мен­та мож­но опре­де­лить не толь­ко для чисел, но и для дру­гих мате­ма­ти­че­ских объ­ек­тов

^[⇨].

Обратное к действительному числу

Для любо­го дей­стви­тель­но­го (или ком­плекс­но­го) чис­ла, отлич­но­го от нуля, суще­ству­ет чис­ло, обрат­ное ему. Обрат­ное к дей­стви­тель­но­му чис­лу мож­но подать в виде дро­би или сте­пе­ни с пока­за­те­лем -1. Но, как пра­ви­ло, исполь­зу­ет­ся запись через дробь.

Чис­ло	Обрат­ное
	Дробь	Сте­пень
$$ n {displaystyle n}	$$ 1 n {displaystyle {frac {1}{n}}}	$$ n − 1 {displaystyle n^{-1}}

То есть

.

При­ме­ры
Чис­ло	$$ 3 {displaystyle 3}	$$ 1 10 {displaystyle {frac {1}{10}}}	$$ − 2 7 {displaystyle -{frac {2}{7}}}	$$ 2 π {displaystyle 2pi }	$$ 2 {displaystyle 2}	$$ − 0 , 125 {displaystyle -0,125}	$$ 1 {displaystyle 1}	$$ 3 {displaystyle {sqrt {3}}}	$$ e π 4 {displaystyle e^{frac {pi }{4}}}	$$ 10 23 {displaystyle 10^{23}}
Обрат­ное	$$ 1 3 {displaystyle {frac {1}{3}}}	$$ 10 {displaystyle 10}	$$ − 7 2 {displaystyle -{frac {7}{2}}}	$$ 1 2 π {displaystyle {frac {1}{2pi }}}	$$ 0 , 5 {displaystyle 0,5}	$$ − 8 {displaystyle -8}	$$ 1 {displaystyle 1}	$$ 3 3 {displaystyle {frac {sqrt {3}}{3}}}	$$ e − π 4 {displaystyle e^{-{frac {pi }{4}}}}	$$ 10 − 23 {displaystyle 10^{-23}}

Обратное для нуля

В ариф­ме­ти­ке, кото­рая опе­ри­ру­ет дей­стви­тель­ны­ми (или ком­плекс­ны­ми) чис­ла­ми, нет поня­тия бес­ко­неч­но­сти (нет чис­ла «бес­ко­неч­ность»). Поэто­му в ней счи­та­ет­ся, что на ноль делить нель­зя. Таким обра­зом, ноль не име­ет обрат­но­го чис­ла. Но, с момен­та вво­да пре­дель­но­го пере­хо­да (в мате­ма­ти­че­ском ана­ли­зе), появи­лись такие поня­тия как бес­ко­неч­но малая и бес­ко­неч­но боль­шая вели­чи­ны, кото­рые явля­ют­ся вза­им­но обрат­ны­ми.

Исполь­зуя пре­дель­ный пере­ход, полу­ча­ем:

• Пра­вый пре­дел:
  $$
  
  
  
  
  lim
  
  x
  →
  +
  0
  
  
  
  
  1
  x
  
  
  =
  
  (
  
  
  1
  0
  
  
  )
  
  =
  +
  ∞
  
  
  {displaystyle lim _{x o +0}{frac {1}{x}}=left({frac {1}{0}}
  ight)=+infty }
  
  
  _ или _ $$
  
  
  
  
  (
  
  
  1
  x
  
  
  )
  
  
  
  →
  
  
  x
  
  
  →
  
  
  
  +
  0
  
  
  
  
  
   
  
  +
  ∞
  
  
  
  {displaystyle left({frac {1}{x}}
  ight){xrightarrow[{x{xrightarrow {}}+0}]{}} {+infty }}
  
  
  
• Левый пре­дел:
  $$
  
  
  
  
  lim
  
  x
  →
  −
  0
  
  
  
  
  1
  x
  
  
  =
  
  (
  
  
  1
  0
  
  
  )
  
  =
  −
  ∞
  
  
  {displaystyle lim _{x o -0}{frac {1}{x}}=left({frac {1}{0}}
  ight)=-infty }
  
  
  _ или _ $$
  
  
  
  
  (
  
  
  1
  x
  
  
  )
  
  
  
  →
  
  
  x
  
  
  →
  
  
  
  −
  0
  
  
  
  
  
   
  
  −
  ∞
  
  
  
  {displaystyle left({frac {1}{x}}
  ight){xrightarrow[{x{xrightarrow {}}-0}]{}} {-infty }}
  
  
  

Таким обра­зом, обрат­ной вели­чи­ной для нуля, в зави­си­мо­сти от того с какой сто­ро­ны к нему стре­мить­ся, фор­маль­но явля­ет­ся бес­ко­неч­ность со зна­ком «+» или «−». Одна­ко такое опре­де­ле­ние обрат­но­го к нулю бес­смыс­лен­но — при вве­де­нии теря­ет­ся дис­три­бу­тив­ность, что про­яв­ля­ет­ся, в част­но­сти, когда пре­дел обрат­но­го квад­ра­та так­же «равен» бес­ко­неч­но­сти, но при деле­нии преды­ду­ще­го пре­де­ла на этот даёт ответ 0, а не 1.

• 
  $$
  
  
  
  lim
  
  x
  →
  +
  0
  
  
  
  
  1
  
  x
  
  2
  
  
  
  
  =
  
  +
  ∞
  
  
  
  {displaystyle lim _{x o +0}{frac {1}{x^{2}}}={+infty }}
  
  
  

Но

Обратное к комплексному числу

Чис­ла, обрат­ные к ком­плекс­ным, выгля­дят несколь­ко слож­нее неже­ли обрат­ные к дей­стви­тель­ным. Суще­ству­ет три фор­мы ком­плекс­но­го чис­ла: алгеб­ра­и­че­ская, три­го­но­мет­ри­че­ская и пока­за­тель­ная.

Фор­мы ком­плекс­но­го чис­ла	Чис­ло $$ ( z ) {displaystyle (z)}	Обрат­ное $$ ( 1 z ) {displaystyle left({frac {1}{z}} ight)} [2]
Алгеб­ра­и­че­ская	$$ x + i y {displaystyle x+iy}	$$ x x 2 + y 2 − i y x 2 + y 2 {displaystyle {frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-i{frac {y}{x^{2}+y^{2}}}}
Три­го­но­мет­ри­че­ская	$$ r ( cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ ) {displaystyle r(cos varphi +isin varphi )}	$$ 1 r ( cos ⁡ φ − i sin ⁡ φ ) {displaystyle {frac {1}{r}}(cos varphi -isin varphi )}
Пока­за­тель­ная	$$ r e i φ {displaystyle re^{ivarphi }}	$$ 1 r e − i φ {displaystyle {frac {1}{r}}e^{-ivarphi }}

Таким обра­зом, при нахож­де­нии обрат­но­го к ком­плекс­но­му чис­лу, удоб­нее поль­зо­вать­ся его пока­за­тель­ной фор­мой.

При­мер:

Фор­мы ком­плекс­но­го чис­ла	Чис­ло $$ ( z ) {displaystyle (z)}	Обрат­ное $$ ( 1 z ) {displaystyle left({frac {1}{z}} ight)} [2]
Алгеб­ра­и­че­ская	$$ 1 + i 3 {displaystyle 1+i{sqrt {3}}}	$$ 1 4 − 3 4 i {displaystyle {frac {1}{4}}-{frac {sqrt {3}}{4}}i}
Три­го­но­мет­ри­че­ская	$$ 2 ( cos ⁡ π 3 + i sin ⁡ π 3 ) {displaystyle 2left(cos {frac {pi }{3}}+isin {frac {pi }{3}} ight)} или $$ 2 ( 1 2 + i 3 2 ) {displaystyle 2left({frac {1}{2}}+i{frac {sqrt {3}}{2}} ight)} [3]	$$ 1 2 ( cos ⁡ π 3 − i sin ⁡ π 3 ) {displaystyle {frac {1}{2}}left(cos {frac {pi }{3}}-isin {frac {pi }{3}} ight)} или $$ 1 2 ( 1 2 − i 3 2 ) {displaystyle {frac {1}{2}}left({frac {1}{2}}-i{frac {sqrt {3}}{2}} ight)} [3]
Пока­за­тель­ная	$$ 2 e i π 3 {displaystyle 2e^{i{frac {pi }{3}}}}	$$ 1 2 e − i π 3 {displaystyle {frac {1}{2}}e^{-i{frac {pi }{3}}}}

Обратное к мнимой единице

Суще­ству­ет лишь два чис­ла (ком­плекс­но-сопря­жен­ные), обрат­ное и про­ти­во­по­лож­ное чис­ла к кото­рым рав­ны. Это

.

Чис­ло	Равен­ство обрат­но­го и про­ти­во­по­лож­но­го
	Запись обрат­но­го через дробь	Запись обрат­но­го через сте­пень
$$ i {displaystyle i}	$$ 1 i = − i {displaystyle {frac {1}{i}}=-i}	$$ i − 1 = − i {displaystyle i^{-1}=-i}
$$ − i {displaystyle -i}	$$ − 1 i = i {displaystyle -{frac {1}{i}}=i}	$$ − i − 1 = i {displaystyle -i^{-1}=i}

Вариации и обобщения

Поня­тие обрат­но­го эле­мен­та на про­из­воль­ном мно­же­стве

мож­но опре­де­лить для любой бинар­ной опе­ра­ции на этом мно­же­стве, если для этой опе­ра­ции суще­ству­ет ней­траль­ный эле­мент — напри­мер, в коль­це квад­рат­ных мат­риц задан­но­го поряд­ка. Если опе­ра­ция не ассо­ци­а­тив­на, то при­хо­дит­ся раз­ли­чать левый и пра­вый обрат­ный эле­мен­ты.

Эле­мен­ты коль­ца, име­ю­щие обрат­ный эле­мент, назы­ва­ют­ся дели­те­ля­ми еди­ни­цы. Мно­же­ство всех обра­ти­мых эле­мен­тов коль­ца обра­зу­ет муль­ти­пли­ка­тив­ную груп­пу, назы­ва­е­мую груп­пой обра­ти­мых эле­мен­тов. Эта груп­па все­гда непу­стая, так как содер­жит как мини­мум еди­ни­цу коль­ца.

Примечания

Литература

• Анд­ро­нов И. К. Ариф­ме­ти­ка. Раз­ви­тие поня­тия чис­ла и дей­ствий над чис­ла­ми. — Москва: Учпед­гиз, 1959.