10-угольник

Пра­виль­ный деся­ти­уголь­ник
Сто­рон и вер­шин	10
Сим­вол Шле­фли	{10}
Внут­рен­ний угол	144°
Сим­мет­рия	Диэд­ри­че­ская ( $$ D 10 {displaystyle D_{10}} ), поря­док 20.

Десятиуго́льник (пра­виль­ный деся­ти­уголь­ник — дека­гон) — мно­го­уголь­ник с деся­тью угла­ми и деся­тью сто­ро­на­ми.

Правильный десятиугольник

У пра­виль­но­го деся­ти­уголь­ни­ка все сто­ро­ны рав­ной дли­ны, и каж­дый внут­рен­ний угол состав­ля­ет 144°.

Пло­щадь пра­виль­но­го деся­ти­уголь­ни­ка рав­на (t — дли­на сто­ро­ны):

$$


A
=


5
2



t

2


 
c
t
g


π
10


=



5

t

2



2




5
+
2


5




≈
7.694208842938134

t

2


.


{displaystyle A={frac {5}{2}}t^{2} ctg{frac {pi }{10}}={frac {5t^{2}}{2}}{sqrt {5+2{sqrt {5}}}}approx 7.694208842938134t^{2}.}

Аль­тер­на­тив­ная фор­му­ла

$$


A
=
2.5
d
t


{displaystyle A=2.5dt}

, где d — рас­сто­я­ние меж­ду парал­лель­ны­ми сто­ро­на­ми или диа­метр впи­сан­ной окруж­но­сти. В три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ци­ях он выра­жа­ет­ся так:

$$



d
=
2
t

(

cos
⁡




3
π

10



+
cos
⁡



π
10




)

,


{displaystyle d=2tleft(cos { frac {3pi }{10}}+cos { frac {pi }{10}}
ight),}

и может быть пред­став­лен в ради­ка­лах как

$$


d
=
t


5
+
2


5




.


{displaystyle d=t{sqrt {5+2{sqrt {5}}}}.}

Сто­ро­на пра­виль­но­го деся­ти­уголь­ни­ка, впи­сан­но­го в еди­нич­ную окруж­ность, рав­на

$$








5


−
1

2



=



1
φ





{displaystyle { frac {{sqrt {5}}-1}{2}}={ frac {1}{varphi }}}

, где

$$


φ


{displaystyle varphi }

— золо­тое сече­ние.

Ради­ус опи­сан­ной окруж­но­сти деся­ти­уголь­ни­ка равен

$$


R
=





5


+
1

2


t
,


{displaystyle R={frac {{sqrt {5}}+1}{2}}t,}

а ради­ус впи­сан­ной окруж­но­сти

$$


r
=



5
+
2


5



2


t
.


{displaystyle r={frac {sqrt {5+2{sqrt {5}}}}{2}}t.}

Построение

По тео­ре­ме Гаус­са — Ван­це­ля пра­виль­ный деся­ти­уголь­ник воз­мож­но постро­ить, исполь­зуя лишь цир­куль и линей­ку.
На диа­грам­ме пока­за­но одно из таких постро­е­ний.
Ина­че его мож­но постро­ить сле­ду­ю­щим обра­зом:

1. Постро­ить сна­ча­ла пра­виль­ный пяти­уголь­ник.
2. Соеди­нить все его вер­ши­ны с цен­тром опи­сан­ной окруж­но­сти пря­мы­ми до пере­се­че­ния с этой же окруж­но­стью на про­ти­во­по­лож­ной сто­роне. В этих точ­ках пере­се­че­ния и нахо­дят­ся осталь­ные пять вер­шин деся­ти­уголь­ни­ка.
3. Соеди­нить по поряд­ку вер­ши­ны пяти­уголь­ни­ка и пять точек, най­ден­ные шагом ранее. Иско­мый деся­ти­уголь­ник постро­ен.

Разбиение правильного десятиугольника

Гароль­дом Кок­се­те­ром было дока­за­но, что пра­виль­ный

$$


2
m


{displaystyle 2m}

-уголь­ник (в общем слу­чае —

$$


2
m


{displaystyle 2m}

-уголь­ный зоно­гон) мож­но раз­бить на

$$





m
(
m
−
1
)

2




{displaystyle {frac {m(m-1)}{2}}}

ром­бов. Для дека­го­на

$$


m
=
5


{displaystyle m=5}

, так что он может быть раз­бит на 10 ром­бов.

Раз­би­е­ние пра­виль­но­го деся­ти­уголь­ни­ка

Пространственный десятиугольник

Пра­виль­ные про­стран­ствен­ные деся­ти­уголь­ни­ки
{5}#{ }	{5/2}#{ }	{5/3}#{ }
Пяти­уголь­ная анти­приз­ма	Пен­та­грамм­ная анти­приз­ма	Пен­та­грамм­ная анти­приз­ма с пере­крё­стом

Про­стран­ствен­ный деся­ти­уголь­ник — это про­стран­ствен­ный мно­го­уголь­ник с деся­тью рёб­ра­ми и вер­ши­на­ми, но не лежа­щи­ми в одной плос­ко­сти. У про­стран­ствен­но­го зиг-заг деся­ти­уголь­ни­ка вер­ши­ны чере­ду­ют­ся меж­ду дву­мя парал­лель­ны­ми плос­ко­стя­ми.

У пра­виль­но­го про­стран­ствен­но­го деся­ти­уголь­ни­ка все рёб­ра рав­ны. В трёх­мер­ном про­стран­стве это зиг-заг про­стран­ствен­ный дека­гон, он может быть обна­ру­жен сре­ди рёбер и вер­шин пен­та­го­наль­ной анти­приз­мы, пен­та­грамм­ной анти­приз­мы, пен­та­грамм­ной пере­кре­щи­ва­ю­щей­ся анти­приз­мы с той же D_5d [2⁺,10] сим­мет­ри­ей поряд­ка 20.

Его так­же мож­но най­ти в неко­то­рых выпук­лых мно­го­гран­ни­ках с ико­са­эд­ри­че­ской сим­мет­ри­ей. Мно­го­уголь­ни­ки по пери­мет­ру этих про­ек­ций (см. ниже) это про­стран­ствен­ные деся­ти­уголь­ни­ки.

Орто­го­наль­ные про­ек­ции мно­го­гран­ни­ков
Доде­ка­эдр	Ико­са­эдр	Ико­со­до­де­ка­эдр	Ром­бо­три­а­кон­та­эдр

Многоугольники Петри

Пра­виль­ный про­стран­ствен­ный деся­ти­уголь­ник — это мно­го­уголь­ник Пет­ри для мно­гих мно­го­гран­ни­ков выс­ших раз­мер­но­стей, как пока­за­но на этих орто­го­наль­ных про­ек­ци­ях на раз­лич­ных плос­ко­стях Кок­се­те­ра.

A9	D6		B5
9‑симплекс	411	131	5‑ортоплекс	5‑куб

Примечания

Ссылки

	В Викис­ло­ва­ре есть ста­тья «деся­ти­уголь­ник»

• Weisstein, Eric W. Decagon (англ.) на сай­те Wolfram MathWorld.
• На Викис­кла­де есть медиа­фай­лы по теме Деся­ти­уголь­ник