11-угольник

Пра­виль­ный выпук­лый 11-уголь­ник

Одиннадцатиуго́льник, назы­ва­е­мый ино­гда гендекаго́н^[1] — мно­го­уголь­ник с один­на­дца­тью угла­ми. Один­на­дца­ти­уголь­ни­ком так­же назы­ва­ют вся­кий пред­мет, име­ю­щий такую фор­му.

Площадь одиннадцатиугольника без самопересечений

Пло­щадь один­на­дца­ти­уголь­ни­ка без само­пе­ре­се­че­ний, задан­но­го коор­ди­на­та­ми вер­шин, опре­де­ля­ет­ся по общей для мно­го­уголь­ни­ков фор­му­ле.

Выпуклый одиннадцатиугольник

Выпук­лым один­на­дца­ти­уголь­ни­ком назы­ва­ет­ся такой один­на­дца­ти­уголь­ник, у кото­ро­го все его точ­ки лежат по одну сто­ро­ну от любой пря­мой, про­хо­дя­щей через две его сосед­ние (т. е. соеди­нён­ные одной сто­ро­ной) вер­ши­ны.

Сум­ма внут­рен­них углов выпук­ло­го один­на­дца­ти­уголь­ни­ка рав­на 1620°.

$$



∑

i
=
1


11




α

i


=

(
11
−
2
)
⋅

180

∘


=
9
⋅

180

∘


=

1620

∘


.


{displaystyle sum _{i=1}^{11}{alpha _{i}=}(11-2)cdot 180^{circ }=9cdot 180^{circ }=1620^{circ }.}

Пра­виль­ный один­на­дца­ти­уголь­ник

Правильный одиннадцатиугольник

Пра­виль­ным назы­ва­ет­ся один­на­дца­ти­уголь­ник, у кото­ро­го рав­ны все сто­ро­ны и все углы меж­ду смеж­ны­ми сто­ро­на­ми. Такие мно­го­уголь­ни­ки могут быть выпук­лы­ми (без само­пе­ре­се­че­ний) и звёзд­ча­ты­ми (см. ниже). Внут­рен­ний угол пра­виль­но­го один­на­дца­ти­уголь­ни­ка без само­пе­ре­се­че­ний равен 180° − 360°/11 = 147 ³⁄₁₁°. Обо­зна­че­ние сим­во­лом Шле­фли — {11}.

Пло­щадь

пра­виль­но­го выпук­ло­го один­на­дца­ти­уголь­ни­ка со сто­ро­ной

вычис­ля­ет­ся по фор­му­ле^[2]

$$


S
=


11
4



a

2


ctg
⁡


π
11


≈
9,365
64


a

2


.


{displaystyle S={frac {11}{4}}a^{2}operatorname {ctg} {frac {pi }{11}}approx 9{,}36564,a^{2}.}

Звёздчатые одиннадцатиугольники

Суще­ству­ет четы­ре типа пра­виль­ных звёзд­ча­тых один­на­дца­ти­уголь­ни­ков, како­вы­ми явля­ют­ся мно­го­уголь­ни­ки с само­пе­ре­се­че­ни­я­ми, у кото­рых все сто­ро­ны и углы рав­ны, а вер­ши­ны сов­па­да­ют с вер­ши­на­ми пра­виль­но­го выпук­ло­го один­на­дца­ти­уголь­ни­ка.

{11/2}

{11/3}

{11/4}

{11/5}

Примечания

Это ста­тья-заго­тов­ка по мате­ма­ти­ке. Вы може­те помочь про­ек­ту, допол­нив эту ста­тью, как и любую дру­гую в Вики­пе­дии. Нажми­те и узнай­те подроб­но­сти.