1‑симплекс

Отрезок AB (выделен красным)

Отре́зком называются два близких понятия: в геометрии и математическом анализе.

Отрезок в геометрии

В евклидовом пространстве отрезок прямой — часть прямой, ограниченная двумя точками. Точнее: это множество, состоящее из двух различных точек данной прямой (которые называются концами отрезка) и всех точек, лежащих между ними (которые называются его внутренними точками). Отрезок, концами которого являются точки

{displaystyle A}

$A$ и

{displaystyle B}

$B$ , обозначается символом

{displaystyle AB}

$AB$ . Расстояние между концами отрезка называют его длиной и обозначают

{displaystyle AB}

$AB$ или

{displaystyle |AB|}

$|AB|$ .

Направленный отрезок

Обычно у отрезка прямой неважно, в каком порядке рассматриваются его концы: то есть отрезки

{displaystyle AB}

$AB$ и

{displaystyle BA}

$BA$ представляют собой один и тот же отрезок. Если у отрезка определить направление, то есть порядок перечисления его концов, то такой отрезок называется направленным, или вектором. Например, направленные отрезки

{displaystyle AB}

$AB$ и

{displaystyle BA}

$BA$ не совпадают. Отдельного обозначения для направленных отрезков нет — то, что у отрезка важно его направление, обычно указывается особо.

Это приводит к понятию свободного вектора — класса всех возможных векторов, отличающихся друг от друга только параллельным переносом, которые принимаются равными.

Отрезок числовой прямой

Отрезок числовой (координатной) прямой (иначе числовой отрезок, сегмент) — множество вещественных чисел

{displaystyle {x}}

${x}$ , удовлетворяющих неравенству

{displaystyle aleq xleq b}

$aleq xleq b$ , где заранее заданные вещественные числа

{displaystyle a}

$a$ и

{displaystyle b}

$b$

{displaystyle (a<b)}

${displaystyle (a<b)}$ называются концами (граничными точками) отрезка. В противоположность им, остальные числа

{displaystyle x}

$x$ , удовлетворяющие неравенству

{displaystyle a<x<b}

${displaystyle a<x<b}$ , называются внутренними точками отрезка^[1].

Отрезок обычно обозначается

{displaystyle [a,b]}

$[a,b]$ :

{displaystyle [a,b]={xin mathbb {R} mid aleq xleq b}}

.

Любой отрезок, по определению, заведомо включён в множество вещественных чисел. Отрезок является замкнутым промежутком.

Число

{displaystyle |a-b|=b-a}

${displaystyle |a-b|=b-a}$ называется длиной числового отрезка

{displaystyle [a,b]}

$[a,b]$ .

Стягивающаяся система сегментов

Система сегментов — это бесконечная последовательность элементов множества отрезков на числовой прямой

{displaystyle {[a,b]|a,bin mathbb {R} land a<b}}

${[a,b]|a,bin mathbb{R} land a<b}$ .

Система сегментов обозначается

{displaystyle {[a_{n},b_{n}]}_{n=1}^{infty }}

${[a_{n},b_{n}]}_{{n=1}}^{{infty }}$ . Подразумевается, что каждому натуральному числу

{displaystyle n}

$n$ поставлен в соответствие отрезок

{displaystyle [a_{n},b_{n}]}

${displaystyle [a_{n},b_{n}]}$ .

Система сегментов

{displaystyle {[a_{n},b_{n}]}_{n=1}^{infty }}

${[a_{n},b_{n}]}_{{n=1}}^{{infty }}$ называется стягивающейся, если^[2]

каждый следующий отрезок содержится в предыдущем;
${displaystyle forall nin mathbb {N} colon [a_{n+1},b_{n+1}]subseteq [a_{n},b_{n}]}$
соответствующая последовательность длин отрезков бесконечно мала.
${displaystyle lim _{n o infty }(b_{n}-a_{n})=0}$

У любой стягивающейся системы сегментов существует единственная точка, принадлежащая всем сегментам этой системы.

{displaystyle forall {[a_{n},b_{n}]}_{n=1}^{infty }~exists !cin mathbb {R} ~forall nin Ncolon cin [a_{n},b_{n}],}

где

{displaystyle forall }

— квантор всеобщности.

Этот факт следует из свойств монотонной ограниченной последовательности^[3].

См. также

Примечания

↑ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3‑е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 53. — 672 с. — ISBN 5–482-00445–7.
↑ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3‑е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 68 — 105. — 672 с. — ISBN 5–482-00445–7.
↑ Хинчин А.Я. Восемь лекций по математическому анализу. — М.-Л., Гостехиздат, 1948. — с. 30–31

[ilyin-1] В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3‑е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 53. — 672 с. — ISBN 5–482-00445–7.

[ilyin-3-2] В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3‑е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 68 — 105. — 672 с. — ISBN 5–482-00445–7.

[3] Хинчин А.Я. Восемь лекций по математическому анализу. — М.-Л., Гостехиздат, 1948. — с. 30–31

[1]

[2]

[3]

1‑симплекс

Содержание

Отрезок в геометрии

Направленный отрезок

Отрезок числовой прямой

Стягивающаяся система сегментов

См. также

Примечания

Похожее ...

Recent Posts

Recent Comments

1‑симплекс

Отрезок в геометрии

Направленный отрезок

Отрезок числовой прямой

Стягивающаяся система сегментов

См. также

Примечания

Похожее ...

10‑я Краснознамённая авиационная дивизия пикирующих бомбардировщиков

1‑я Лидинская улица

1‑я пехотная дивизия (Русская армия)

Recent Posts

Recent Comments